🏏 Rozwinięcia Dziesiętne Liczb Wymiernych Ułamki Okresowe

Wymagania na poszczególne oceny szkolne - klasa 7. Ocena postępów ucznia jest wynikiem oceny stopnia opanowania jego umiejętności podstawowych i ponadpodstawowych. • zna pojęcia: rozwinięcie dziesiętne skończone, nieskończone, okres • umie zapisać liczby wymierne w postaci rozwinięć dziesiętnych skończonych i rozwinięć dziesiętnych nieskończonych okresowych • zna sposób zaokrąglania liczb rozumie potrzebę zaokrąglania liczb • umie zaokrąglić liczbę do danego rzędu Jeśli chcemy znaleźć rozwinięcie dziesiętne liczb najłatwiej jest podzielić licznik przez mianownik. Najlepiej wykonać takie działanie w słupku. To jest najbardziej uniwersalny i niezawodny sposób. W punkcie a) możemy zauważyć, że po przecinku będziemy mieć powtarzające się 7, czyli możemy to zapisać w okresie, czyli 0, (7 Wg. Działania na ułamkach dziesiętnych koło fortuny, klasa matematyka, zadania zostały podzielone na działów liczby naturalne liczby dziesiętne przy wykonywaniu poniższych działań ułamki przywiera przedstawić w tej samej postaci ułamka zwykłego albo ułamka dziesiętnego. Wg zygmoniak, pobierz, liczby naturalne, p umiejętność • zamienia ułamki zwykłe o mianownikach będących dzielnikami liczb 10, 100, 1000 itd. na ułamki dziesiętne skończone dowolną metodą (przez rozszerzanie ułamków zwykłych, dzielenie licznika przez mianownik w pamięci, pisemnie lub za pomocą kalkulatora); • zapisuje ułamki zwykłe o mianownikach innych niż wymienione w zapisuje ułamki dziesiętne skończone w postaci ułamków zwykłych, zamienia ułamki zwykłe o mianownikach będących dzielnikami liczb 10, 100, 1000 itd. na ułamki dziesiętne skończone dowolną metodą (przez rozszerzanie lub skracanie ułamków zwykłych, dzielenie licznika przez mianownik w pamięci, pisemnie lub za pomocą kalkulatora), . Dzieląc licznik ułamka przez mianownik, otrzymamy ułamek dziesiętny o skończonej liczbie cyfr po przecinku, mówimy wtedy, że ułamek ma rozwinięcie dziesiętne: W skrócie Zyskaj dostęp do setek lekcji przygotowanych przez ekspertów! Wszystkie lekcje, fiszki, quizy, filmy i animacje są dostępne po zakupieniu subskrypcji. W tej lekcji: liczby niewymierne – definicja i przykładyjak odróżnić liczbę wymierną od niewymiernejdowód niewymierności √2 Miesięczny dostęp do wszystkich przedmiotów Dostęp do 9 przedmiotów Płatność co miesiąc Zrezygnuj kiedy chcesz! 19,90Płatne co miesiąc Zrezygnuj w dowolnym momencie Kontynuuj RABAT 15% Roczny dostęp do wszystkich przedmiotów Dostęp do 9 przedmiotów Korzystny rabat Jednorazowa płatność Korzystasz bez ograniczeń przez cały rok! 84,15 7,01 zł / miesiąc Jednorazowa płatność Kontynuuj lub kup dostęp przedmiotowy Dostęp do 1 przedmiotu na rok Nie lubisz kupować kota w worku? Sprawdź, jak wyglądają lekcje na Dla Ucznia Sprawdź się Filmy do tego tematu Materiały dodatkowe liczba wymierna liczba wymierna to liczba, którą można zapisać jako ułamek mn ,gdzie m , n to liczby całkowite, n ≠ 0 ,np. 23 , −13 , ale też 4 = 41 , a także √92 = 32 Zbiór liczb wymiernych oznaczamy symbolem Q. Temat lekcji: Ułamki zwykłe, ułamki dziesiętne, ułamki okresowe. Cele lekcji: -sposoby skracania ułamków, zastosowanie nwd, -zamiana ułamka zwykłego na dziesiętny, -sposoby wydzielania okresów, -wyznaczanie ilości cyfr między przecinkiem a okresem, -wyznaczanie długości okresu. Przebieg lekcji: Omówienie sposobów wyznaczania największego wspólnego dzielnika (największy wspólny dzielnik będzie potrzebny w pkt. d do skracania ułamków): a) Sposób wyznaczania najwiekszego wspólnego dzielnika z wykorzystaniem standardowej procedury gcd kalkulatora TI 92, np. wpisujemy w linii edycyjnej wyrażenie gcd(1995,1957) i po naciśnięciu ENTER otrzymujemy wynik Sposób wyznaczania najwiekszego wspólnego dzielnika przy pomocy algorytmu Euklidesa zapisanego jako program na kalkulator TI 92. Pisanie programu rozpoczynamy klawiszami APPS - 7:Program Editor -Enter - 3:New - Enter i w okienku Variable wpisujemy nazwę programu, np. algorytm i naciskamy dwa razy ENTER. :algorytm(a,b) :Prgm :ClrIO :1->r :While r>0 : mod(a,b)->r : Disp string(a)&"="&string(intDiv(a,b))&""&string(b)&"+"&string(r) : b->a : r->b :EndWhile :Disp "NWD="&string(a) :EndPrgm Po napisaniu programu należy przejść klawiszami APPS i 1:Home do głównego okna kalkulatora i w linii edycyjnej wpisać zlecenie: algorytm(1995,1957). Po naciśnięciu ENTER otrzymujemy wynik: 1995=11957+38 1957=5138+19 38=219+0 NWD=19 c) Ćwiczenia w wyznaczaniu najwiekszego wspólnego dzielnika różnych par liczb, d) Ułożenie programu na skracanie ułamków z wykorzystaniem najwiekszego wspólnego dzielnika: :skroc(l,m) :Prgm :ClrIO :string(l)&"/"&string(m)&"="->s :gcd(l,m)->n :l/n->l :m/n->m :Disp s&string(l)&"/"&string(m) :EndPrgm Przykładowy wynik działania programu - w linii edycyjnej należy wpisać zlecenie skroc(1995,1957) 1995/1957=105/103 e) Ćwiczenia w skracaniu ułamków. Sposoby zamiany ułamka zwykłego na ułamek dziesiętny: a) Sposób poprzez zwykłe pisemne dzielenie: 133 : 74 = 1,7972972972972972972... 74 590 518 720 666 540 518 220 148 720 ... Wniosek: Jeśli w trakcie dzielenia powtórzy się któraś reszta to dzielenie można przerwać ponieważ dalsze cyfry rozwinięcia dziesiętnego również będą się powtarzać. b) Sposób zamiany ułamka zwykłego na dziesiętny do 12 cyfr znaczących - wykorzystanie opcji APPROXIMATE i Display Digits-FLOAT 12 kalkulatora TI 92: 133/74 Należy zwrócić uwagę, że ostatnia cyfra tego rozwinięcia jest zaokrąglana. c) Sposób zamiany ułamka zwykłego na dziesiętny do 175 miejsc po przecinku przy pomocy poniższego programu: :dziel(licz,mian) :Prgm :ClrIO :string(licz)&"/"&string(mian)&"="&string(intDiv(licz,mian))&"." ->s :For n,1,175,1 : mod(licz,mian)10->licz : s&string(intDiv(licz,mian)) ->s : If mod(n,25)=0 Then : Disp s : " "->s : EndIf :EndFor :Disp s :EndPrgm Przykładowy wynik działania programu - w linii edycyjnej należy wpisać zlecenie: dziel(133,74) 133/74= 9729729729729729729729729 7297297297297297297297297 2972972972972972972972972 9729729729729729729729729 7297297297297297297297297 2972972972972972972972972 Własności ułamków okresowych. Ćwiczenia w zamianie ułamków zwykłych na dziesiętne przy pomocy programu dziel(a,b) i wyznaczanie ich okresów: 2 / 3 = - okresem jest cyfra 6 3 / 4 = - okresem jest cyfra 0 3 / 5 = - okresem jest cyfra 0 5 / 6 = - okresem jest cyfra 3 6 / 7 = - okresem jest grupa cyfr 857142 9 / 11 = - okresem jest grupa cyfr 81 11 / 15 = - okresem jest cyfra 3 19 / 60 = - okresem jest cyfra 6 133 / 74 = - okresem jest grupa cyfr 972, Należy zwrócić uwagę, że dla wiekszych liczb wyznaczanie okresów jest dość kłopotliwe i dlatego należy poszerzyć program dziel(a,b) o procedurę ich automatycznego wyznaczania. Poniższy program na zamianę ułamków zwykłych na okresowe zawiera taką procedurę. :zuzno(licz,mian) :Prgm :ClrIO :string(licz)&"/"&string(mian)&"="->s :Disp s :gcd(licz,mian)->nwd1 :licz/nwd1->licz :mian/nwd1->mian :"="&string(licz)&"/"&string(mian)&"="->s :s&string(factor(licz))&"/("&string(factor(mian))&")="->s :Disp s :"="&string(intDiv(licz,mian))&"."->s :mian->mian1 :0->i2 :While mod(mian1,2)=0 : i2+1->i2 : mian1/2->mian1 :EndWhile :0->i5 :While mod(mian1,5)=0 : i5+1->i5 : mian1/5->mian1 :EndWhile :max(i2,i5)->immpao :If immpao=0 : s&"9"->s :1->dlok :9->licz1 :While mod(licz1,mian1)>0 : dlok+1->dlok : mod(licz1,mian1)10+9->licz1 :EndWhile :For n,1,150,1 : mod(licz,mian)10->licz : s&string(intDiv(licz,mian))->s : If immpao=n : s&"("->s : If immpao+dlok=n : s&")"->s : If mod(n,25)=0 Then : Disp s : " "->s : EndIf :EndFor :Disp s :EndPrgm Po uruchomieniu tego programu zleceniem zuzno(1995,1957) otrzymujemy: 1995/1957=105/103=375/103= =1.(0194174757281553398058252 427184466)0194174757281553 3980582524271844660194174 7572815533980582524271844 6601941747572815533980582 52019417475728155339805825 Program skraca ułamek, rozkłada licznik i mianownik na czynniki pierwsze i oznakowuje nawiasami ( ) okres. c) Postawienie uczniom do rozwiązania problemu 1. Problem 1. Czy każdy ułamek ma rozwinięcie okresowe? Odpowiedź: Każdy ułamek zwykły ma rozwinięcie okresowe. Uzasadnienie: W trakcie każdego dzielenia pisemnego któraś reszta musi się powtórzyć i dalsze cyfry rozwinięcia również będą się powtarzać. (Ilość różnych reszt ułamka nieskracalnego p/q, wynosi co najwyżej q-1.) d) Sformułowanie i rozwiązanie problemu 2. Problem 2. Czy zawsze okres rozpoczyna się tuż po przecinku? Jeśli nie, to jak określić ilość cyfr, rozwinięcia dziesiętnego ułamka, między przecinkiem a pierwszą cyfrą okresu? W czasie rozwiązywania problemu uczniowie powinni wykonać wiele przykładów na zamianę ułamków zwykłych na okresowe i szczegółowo przeanalizować te przykłady w których okres nie rozpoczyna się tuż po przecinku. Program zuzno(a,b) podaje, oprócz rozwinięcia dziesiętnego i okresu, również rozkład licznika i mianownika na czynniki pierwsze, co powinno pomóc w rozwiązaniu problemu. Odpowiedź: Ilość cyfr między przecinkiem a okresem równa jest większej z ilości dwójek lub piątek w rozkładzie mianownika na czynniki pierwsze. Uzasadnienie: Każde dzielenie przez 2 lub przez 5 lub przez 25, czyli przez 10, daje jedną cyfrę rozwinięcia dziesiętnego. Cyfra ta nie powtarza się ponieważ takie dzielenie jest skończone i daje reszte zero. Jeśli w mianowniku są jeszcze inne czynniki różne od 2 i od 5 to dzielenie jest nieskończone i one decydują o okresie. Patrz przykłady 5/6, 11/15, 23/60, 133/74. e) Sformułowanie i rozwiązanie problemu 3. Problem 3. Jaka jest własność ułamków o mianownikach 9, 99, 999, ... ? Uczniowie powinni wykonywać przykłady na zamianę ułamków o mianownikach 9, 99, 999, ... na ułamki okresowe i obserwować wyniki. Odpowiedź: Ułamki o mianowniku 9, 99, 999, ... mają okresy złożone z tylu cyfr ile jest dziewiątek w mianowniku. Jednocześnie licznik takiego ułamka jest jego okresem (z ewentualnymi zerami na początku, jeśli ilość cyfr licznika jest mniejsza od ilości cyfr mianownika). Np. 1/9 = 0.(1)11111111111111111111111111111... 5/9 = 0.(5)55555555555555555555555555555... 7/99 = 0.(07)0707070707070707070707070707... 12/99 = 0.(12)1212121212121212121212121212... Odpowiedź jest prawidłowa nawet wtedy, gdy ułamek o mianowniku 9, 99, 999, ... skróci się, np. 6/9 = 2/3 = 0,(6)666666666666666666666666 592/999 = 16/27 = 0.(592)592592592592592592 f) Sformułowanie i rozwiązanie problemu 4. Problem 4. Jak określić długość okresu ułamka p/q bez wykonywania dzielenia liczb p i q? Pomysł rozwiązania tego problemu powinna nasunąć odpowiedź do poprzedniego problemu. Odpowiedź: Dla ułamków o mianownikach 9, 99, 999,... długość okresu jest równa ilości dziewiątek w tych mianownikach. Zatem dla innych ułamków należy rozszerzyć je do mianownika 9 lub 99 lub 999 lub ... - ilość otrzymanych dziewiatek jest długością okresu. Przykłady: a) ułamek o mianowniku 11 ma okres złożony z dwóch cyfr ponieważ można go rozszerzyć do ułamka o mianowniku 99. b) ułamek o mianowniku 37 ma okres długości 3 ponieważ można go rozszerzyć do ułamka o mianowniku złożonym z 3 dziewiątek. Sposób ten jest zastosowany w programie zuzno(a,b) do wyznaczania okresu. g) Ćwiczenia w wyznaczaniu długości okresów ułamków. (przed rozszerzaniem ułamków dobrze jest rozłożyć na czynniki liczby 9, 99, 999, .... Wykorzystać do tego celu zlecenie factor(a), np. factor(999) 3733.) 4. Zadanie domowe. Znaleźć taką liczbę pierwszą q, aby ułamek 1999/q zapisany w postaci dziesiętnej miał w okresie: a) 5 cyfr b) 10 cyfr c) 17 cyfr. Rozwinięcie dziesiętne ułamka Warg: Jaka cyfra stoi na 74 miejscu po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym ułamka okresowego 3,(7315)? Jaki jest schemat rozwiązywania tego typu zadań? 2 kwi 12:27 Jerzy: = 3,731573157315...... = 3, 7315 7315 7315 74 = 184 + 2 ( będzie to druga liczba ciągu 7315 , czyli 3 ) 2 kwi 12:30 Powracający: wedlug mnie tak na 1 miejscu 7 na 2 m 3 na 3 m 1 na 4 m 5 74:4= 18+2 czyli bedzie takich pelnych 18 cykli +2 a na drugim niejsci stoi 3 wiec cyfra 3 stoi na 74 miejscu 2 kwi 12:32 Warg: Dziękuję, rzeczywiście nie takie trudne zadanie 2 kwi 12:34

rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych ułamki okresowe